最值的求法一束

最值的求法一束

摘要：本文通过对求最值的多种方法的分析、讨论，让大家意识到部分最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。了解它们在不同领域的应用，从而能够更好更快掌握求最值的方法的本质。最值的解法有很多种，为以后大家解决数学问题提供了十分有力的工具。

关键词：最值；解法；应用

无论是在考试中还是平时的练习中都不乏最值的题目，求最值的题目不仅是高中阶段最常见的也是最重要的一个问题，同时最值问题也是与大家生活和学习息息相关的，在现实生活中，体积、面积、利润等的计算都属于最值问题．系统的求最值的方法还没有，教师在讲解的时候往往不能面面俱到，有时还无法满足一些基础较好的学生的求知欲。不管是在知识的学习过程中，还是在知识的应用中，最值问题都将引起高度重视．本文将对最值问题的求解方法作一些分析、探讨，希望对大家在学习相关知识时，以及在解决实际问题的方法选择时，提供有益地帮助。

柯西不等式法

在现行的高中教材中涉及了简单的柯西不等式的知识，柯西不等式的用途也是极其广泛的，最值的求法也是其中的用途之一。以下举几例，说明柯西不等式在求最值中的应用，其思维方式新颖，具有创新的特点，对培养学生的学习兴趣有积极的引导作用．

已知 , ,则 ，当且仅当 时等号成立,不等式在 或 时明显成立，所以在以下的证明中不妨设 中至少有一个不为零, 中至少有一不为零．此处证明略。

例1 设 ，且 , 求

      的最小值．

解

当且仅当 时取得等号,所求最小值为 ．

例2 已知实数 满足 , .求 的最大值与最小值．

解 由柯西不等式:  

当且仅当 时取等号  

则  ,

即  ,

解得 

所以 的最大值为 ,最小值为

例3 求函数 的最大值．

解 函数关系可化为 ，由柯西不等式得：

，

即  ，

又  ,

所以  ．

当且仅当 ，即 时等号成立．所以函数的最大值为

向量法

在高中一年级下学期学习了向量的知识，用向量知识解题不仅简单而且很明了易操作，在立体几何中广泛使用此知识解体。向量在代数、不等式、方程、数列、平面几何、立体几何这些题目中广泛使用，在此简单的说下向量在邱最值中的作用。

例4 求函数 的最值.

解 令 ，

则  ， ， ，

故  .

当且仅当 与 同方向，即 时取等号，

解得  ．

所以  当 时 取得最大值12.

平方法

（分析：数式相同，如果所求的函数形式与一组数据的方差公式具有某种相似之处．利用平方差的非负性求函数的值域，不失为一种新颖、独特的方法．）

例5求函数 的最大值．

解 视 为一组数据，则  

解得  ,

因而当且仅当    时，

即  时，上式等号成立．

所以  的最大值为 ．

函数法

函数是高中教材中最重要的一个内容，函数的应用亦是极其广泛，在此略谈下在求最值中的应用。如果所求式子与代数形式上相同，于是通过分析把所要求解的问题转化为一个函数，特别是用一个二次式取代函数，充分利用判别式求解．

例6　已知 为实数，且满足 ， ，求 的最大值．

解  由条件式得   

现构造二次函数 

则 

于是  抛物线 开口向上且在 轴上方与 轴相切，所以，有

         

整理得  ，

即  ，

又当  时，

有 

故  的最大值为 ．

判别式法

二次函数的最值问题可用判别式求解，关键是列出变量 的二次方程,而其系数含目标变量 ，这样 便成为关于目标变量 的不等式，从而可以求出 的最值．

例7  已知 ，求 的最值．

解 由 ,  得 ,

将  代入已知条件，

有   

得关于 的方程是  ，因为该方程有实根 ,

故 

即 

所以 

从而    及   

平均数法

利用基本不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数来求最值，可以使很多看似无从下手的条件最值问题，得以巧妙地解决，它是解决最值问题的基本方法．

例8  已知 为 的三个内角， 的最值．

解  由 为三角形的三个内角可知 皆大于0，为简便以 分别表示  

则  以 可推出

故  ≧   

即　当 时，有

导数法

导数为研究函数的性质提供了一种十分有效的方法，借助导数可以对函数的单调性、极值作透彻分析，进而确定其最值。导数的方法容易掌握，对某些题而言用导数的方法求解极其简单，有些题运用导数的方法求解则是很麻烦，所以在求最值中做题方法要依题而定。

例9 已知 是正数,求函数 的最小值.

解 显然题给函数的定义域为 ,而 ,

令   解得 ，

又  ,

从而 .

因此  当 时,原函数取得最小值,其最小值为

.

例10 求函数 的最小值.

解  容易求出

令 解得 .

又由  ,

得  ,从而当 时,求得原函数的最小值为 。

例11  已知 ， ，试求 的最大值．

解 由已知条件得

对上式求导，得

令 ，得 

当 变化时， 的变化情况如下表：

			(-1,0)		(0,1)
	+	0	-	0	+	0	-
	递增	极大值	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以，由表可知，当 时， 的最大值为9．

单调性法

在函数中有一个最重要的性质就是函数的单调性，利用函数的单调性求最值往往会有意想不到的效果。

例12 用边长为60cm的正方形铁皮做成一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 角，在焊接而成。问水箱底边的长取多少时，水箱的容积最大。最大的容积是多少？

解  设水箱底边长为xcm，则水箱高

    水箱容积 

             

求  的导数，得

因为  x只能在（0，60）内变化，当 时为减函数（减函数在区间开始处取得最大值）。

６０

４０

０

令　　 ＝０解得 （不合题意）， ，有标根分区间法看坐标我们可以知道在 处取得最大值。

 

既是　函数 取得的最大值，

将 代入 ，得到最大容积

　　　　

故水箱边长取40cm的时候，容积最大，最大容积为16000 。

待定系数法

所有的题中最基本的解法，采用此种方法求解需要依题而定。

有一块长为2米，宽为1米的矩形铁皮，现要在它的四周各截去一个同样大小的正方形，然后做成盖盒子，问该如何截，方能使其容积最大？

解　设截去的正方形边长为

　　则　所做成的盒子的容积为　 ,

　　此时　 可以看成和为定值的三个因式的乘积，

　　然而　　由于方程 无解，

　　因此　这时不能直接应用基本不等式 去求解为了能运用基本不等式求解，

　　所以　　以参数 分别乘以

此时　　 均大于0,若 ,

则　　

　　于是　当 ，且 时, 取最大值.

　　由　 和

　　可得　　

　　此时   

　　故　　截取的小正方形边长为 时所做成盒子的容积最大．

 

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